汉诺塔递归

汉诺塔递归问题应该是最简单的递归问题了吧,纠结了快半小时才纠结出来。。。好失败啊。。。

大致思路(来自王民利的博客,其实和课本上写的基本一样):

现在要求庙里的老和尚把这64个盘子全部移动到第三个柱子上。移动的时候始终只能小盘子压着大盘子。

1、此时老和尚(后面我们叫他第1个和尚)觉得很难,所以他想:要是有一个人能把前63个盘子先移动到第二个柱子上,我再把最后一个盘子直接移动到第三个柱子,再让那个人把刚才的前63个盘子从第二个柱子上移动到第三个柱子上,我的任务就完成了,简单。所以他找了比他年轻的和尚(后面我们叫他第2个和尚)(呵呵,倚老卖老),命令:

① 你把前63个盘子移动到第二柱子上

② 在我自己把第64个盘子一道第三个柱子上后

③ 你把前63个盘子移动到第三柱子上

2、第2个和尚接了任务,也觉得很难,所以他也和第1个和尚一样想:要是有一个人能把前62个盘子先移动到第三个柱子上,我再把最后一个盘子直接移动到第二个柱子,再让那个人把刚才的前62个盘子从第三个柱子上移动到第三个柱子上,我的任务就完成了,简单。所以他也找了比他年轻的和尚(后面我们叫他第3和尚)(呵呵,又倚老卖老),命令:

① 你把前62个盘子移动到第三柱子上

② 在我自己把第63个盘子一道第二个柱子上后

③ 你把前62个盘子移动到第二柱子上

3、第3个和尚接了任务,又把移动前61个盘子的任务依葫芦话瓢的交给了第4个和尚,等等递推下去,直到把任务交给了第64个和尚为止(估计第64个和尚很郁闷,没机会也命令下别人,因为到他这里盘子已经只有一个了)。

4、到此任务下交完成,到各司其职完成的时候了。

完成回推了:

第64个和尚移动第1个盘子,把它移开,然后第63个和尚移动他给自己分

配的第2个盘子。第64个和尚再把第1个盘子移动到第2个盘子上。到这里第64个和尚的任务完成,第63个和尚完成了第62个和尚交给他的任务的第一步。

从上面可以看出,只有第64个和尚的任务完成了,第63个和尚的任务才能完成,只有第2个和尚—第64个和尚的任务完成后,第1个和尚的任务才能完成。这是一个典型的递归问题。

现在我们以有3个盘子来分析:

第1个和尚命令:

㈠ 第2个和尚你先把第一柱子前2个盘子移动到第二柱子。(借助第三个柱子)

㈡第1个和尚我自己把第一柱子最后的盘子移动到第三柱子。

㈢第2个和尚你把前2个盘子从第二柱子移动到第三柱子。

很显然,第㈡步很容易实现(哎,人总是自私地,把简单留给自己,困难的给别人)

其中第㈠步。第2个和尚他有2个盘子,他就命令:

① 第3个和尚你把第一柱子第1个盘子移动到第三柱子。(借助第二柱子)

② 第2个和尚我自己把第一柱子第2个盘子移动到第二柱子上。

③ 第3个和尚你把第1个盘子从第三柱子移动到第二柱子。

同样,第步很容易实现,但第3个和尚他只需要移动1个盘子,所以他也不用在下派任务了。(注意:这就是停止递归的条件,也叫边界值)

第㈢步可以分解为,第2个和尚还是有2个盘子,命令:

①第3个和尚你把第二柱子上的第1个盘子移动到第一柱子。

② 第2个和尚我把第2个盘子从第二柱子移动到第三柱子。

③第3个和尚你把第一柱子上的盘子移动到第三柱子。

分析组合起来就是:1→3   1→2    3→2    1→3   2→1  2→3   1→3共需要七步。如果是4个盘子,则第一个和尚的命令中第1步和第3步各有3个盘子,所以各需要7步,共14步,再加上第1个和尚的1步,所以4个盘子总共需要移动7+1+7=15步,同样,5个盘子需要15+1+15=31步,6个盘子需要31+1+31=64步……由此可以知道,移动n个盘子需要(2的n次方)–1步。

从上面整体综合分析可知把n个盘子从1座(相当第一柱子)移到3座(相当第三柱子):

(1)把1座上(n-1)个盘子借助3座移到2座。

(2)把1座上第n个盘子移动3座。

(3)把2座上(n-1)个盘子借助1座移动3座。

自己写的代码: 阅读全文。。。